Question

16．如图所示，四棱椎P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠PBA=∠PBC
（1）证明：PB⊥AC
（2）若PB=AB=2，∠ABC=∠PBD=60°，M为PB中点，求四面体M-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）设AC，BD交于点O，由△ABP≌△CBP得PA=PC，故PO⊥AC，又AC⊥BD，故而AC⊥平面PBD，得出PB⊥AC；
（2）过M作BD的垂线MN，则MN⊥平面ABCD，代入体积公式计算即可．

解答 证明：（1）连接AC、BD，设它们相交于点O，连接PO，则O为AC中点，
∵AB=BC，∠PBA=∠PBC，PB=PB，
∴△ABP≌△CBP，∴PA=PC，
∴PO⊥AC，
∵底面ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，又∵BD?平面PBD，PO?平面PBD，PO∩BD=O，
∴AC⊥平面PBD．∵PB?平面PBD，
∴PB⊥AC．
（2）∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，AC=BC=2
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×{2^2}sin{60°}=\sqrt{3}$．
过点M作MN⊥BD，垂足为N，
由（1）知NM⊥AC，故MN⊥平面ABCD，
在Rt△MBN中，$MN=MBsin{60°}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
四面体M-ABC的体积$V=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}×MN=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．