Question

11．已知公比q不为1的等比数列{a_n}的首项a₁=$\frac{1}{2}$，前n项和为S_n，且a₂+S₂，a₃+S₃，a₄+S₄成等差数列，则q=$\frac{1}{2}$，S₆=$\frac{63}{64}$．

Answer 1

分析 由a₂+S₂，a₃+S₃，a₄+S₄成等差数列，可得2（a₃+S₃）=a₄+S₄+a₂+S₂，化为：3a₃=2a₄+a₂，利用等比数列的通项公式解得q．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵a₂+S₂，a₃+S₃，a₄+S₄成等差数列，∴2（a₃+S₃）=a₄+S₄+a₂+S₂，
∴2（2a₃+a₂+a₁）=2a₄+a₃+3a₂+2a₁，化为：3a₃=2a₄+a₂，∴$3{a}_{2}q=2{a}_{2}{q}^{2}+{a}_{2}$，化为2q²-3q+1=0，q≠1，解得q=$\frac{1}{2}$．
S₆=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{6}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$1-\frac{1}{{2}^{6}}$=$\frac{63}{64}$．
故答案分别为：$\frac{1}{2}$；$\frac{63}{64}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．