Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosB，2cos²$\frac{C}{2}$-1），$\overrightarrow{n}$=（c，b-2a），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若点D为边AB上一点，且满足$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{DB}$，|$\overrightarrow{CD}$|=$\sqrt{7}$，c=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则计算列出关系式，根据二倍角的余弦函数公式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cosC的值，
（Ⅱ）利用向量的几何意义和向量的模的计算以及余弦定理和三角形的面积公式即可求出．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{m}$=（cosB，2cos²$\frac{C}{2}$-1），$\overrightarrow{n}$=（c，b-2a），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，
∴c•cosB+（b-2a）cosC=0，
由正弦定理可得，
sinCcosB+（sinB-2sinA）cosC=0，
∴sinA-2sinAcosC=0，
∵sinA≠0，
∴cosC-$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$，
（Ⅱ）$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{DB}$，|$\overrightarrow{CD}$|=$\sqrt{7}$，c=2$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CD}$，
∴2$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$，
两边平方得4|$\overrightarrow{CD}$|²=b²+a²+2accosC=b²+a²+ac=28，（1），
∵c²=b²+a²-2accosC=b²+a²-ac=12，（2），
由（1），（2）可得ab=8，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，二倍角的余弦函数公式，诱导公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握公式是解本题的关键．