Question

9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=2，A≠B．
（I）求$\frac{asinA-bsinB}{sin（A-B）}$的值；
（2）若△ABC的面积为1，且tanC=2，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）展开两角差的正弦，利用正弦定理和余弦定理化角为边得答案；
（2）由tanC=2求得$sinC=\frac{2\sqrt{5}}{5}，cosC=\frac{\sqrt{5}}{5}$，利用面积及面积公式求得ab的值，再由余弦定理得答案．

解答 解：（1）∵c=2，
∴$\frac{asinA-bsinB}{sin（A-B）}$=$\frac{asinA-bsinB}{sinAcosB-cosAsinB}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{acosB-bcosA}$
=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{a•\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}-b•\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}}$=$\frac{c（{a}^{2}-{b}^{2}）}{{a}^{2}-{b}^{2}}=2$；
（2）∵tanC=$\frac{sinC}{cosC}=2$，且sin²C+cos²C=1，
∴$sinC=\frac{2\sqrt{5}}{5}，cosC=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}ab×\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴ab=$\sqrt{5}$，
由余弦定理有cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-4}{2ab}$，
∴a²+b²=6．
∴$（a+b）^{2}={a}^{2}+{b}^{2}+2ab=6+2\sqrt{5}$，
∴a+b=$\sqrt{5}+1$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查了三角形的解法，是中档题．