Question

12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b．
（1）求证a，b，c成等差数列；
（2）若b=2，当角B取最大值时，求△ABC面积S．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，再利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式变形，整理后再利用正弦定理化简，利用等差数列的性质判断即可得证；
（2）利用基本不等式和余弦定理求出sinB的最大值和ac的值，代入面积公式计算．

解答 （1）证明：∵acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b，
∴a×$\frac{1+cosC}{2}$+c×$\frac{1+cosA}{2}$=$\frac{3b}{2}$．
∴sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=3sinB．
即sinA+sinC+sinAcosC+sinCcosA=3sinB．
∵sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB．
∴sinA+sinC=2sinB．
∴a+c=2b．
∴a，b，c成等差数列．
（2）解：a+c=2b=4，∴a²+c²=16-2ac，∴ac≤（$\frac{a+c}{2}$）²=4．
∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{12-2ac}{2ac}$=$\frac{6}{ac}-1$，
∴当ac=4时cosB取得最小值$\frac{1}{2}$，即B取得最大值，此时sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正余弦定理的应用，基本不等式的应用，属于中档题．