Question

8．已知角α终边逆时针旋转$\frac{π}{6}$与单位圆交于点$（\frac{{3\sqrt{10}}}{10}，\frac{{\sqrt{10}}}{10}）$，且$tan（α+β）=\frac{2}{5}$．
（1）求$sin（2α+\frac{π}{6}）$的值，
（2）求$tan（2β-\frac{π}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出sin（$α+\frac{π}{6}$）与cos（$α+\frac{π}{6}$），然后利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．
（2）求出正切函数的二倍角的值，利用两角和的正切函数化简求解即可．

解答 解：（1）角α终边逆时针旋转$\frac{π}{6}$与单位圆交于点$（\frac{{3\sqrt{10}}}{10}，\frac{{\sqrt{10}}}{10}）$，
可得sin（$α+\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
cos（$α+\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
sin（2$α+\frac{π}{3}$）=2sin（$α+\frac{π}{6}$）cos（$α+\frac{π}{6}$）=$2×\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{3\sqrt{10}}{10}$=$\frac{3}{5}$，
cos（2$α+\frac{π}{3}$）=2×$（{\frac{3\sqrt{10}}{10}）}^{2}-1$=$\frac{4}{5}$．
$sin（2α+\frac{π}{6}）$=sin（2$α+\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=sin（2$α+\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{6}$-sin$\frac{π}{6}$cos（2$α+\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{4}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$．
（2）∵$tan（α+β）=\frac{2}{5}$，∴tan（2α+2β）=$\frac{2tan（α+β）}{1-ta{n}^{2}（α+β）}$=$\frac{2×\frac{2}{5}}{1-（\frac{2}{5}）^{2}}$=$\frac{20}{21}$．
sin（2$α+\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{5}$，
cos（2$α+\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$．
tan（2$α+\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{4}$．
tan（2α+2β）=tan[（$2α+\frac{π}{3}$）+（2$β-\frac{π}{3}$）]=$\frac{\frac{3}{4}+tan（2β-\frac{π}{3}）}{1-\frac{3}{4}×tan（2β-\frac{π}{3}）}$=$\frac{20}{21}$，
解得$tan（2β-\frac{π}{3}）$=$\frac{17}{144}$．

点评 本题考查二倍角公式以及两角和与差的三角函数的应用，考查转化思想以及计算能力．