Question

10．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，过F₂作∠F₁PF₂外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心率为e，则$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{2b}$的最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用转化思想方法求得OQ=a，又OQ=2b，得a=2b，进一步得到a，e与b的关系，然后利用基本不等式求得$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{2b}$的最小值．

解答 解：如图，
由题意，P是以F₁，F₂为焦点的椭圆上一点，过焦点F₂作∠F₁PF₂外角平分线的垂线，垂足为Q，延长F₂Q交F₁P延长线于M，得PM=PF₂，
由椭圆的定义知PF₁+PF₂=2a，故有PF₁+PM=MF₁=2a，
连接OQ，知OQ是三角形F₁F₂M的中位线，
∴OQ=a，又OQ=2b，
∴a=2b，则a²=4b²=4（a²-c²），即${c}^{2}=\frac{3}{4}{a}^{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{2b}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}{2b}$=$\frac{{a}^{4}+{c}^{2}}{2{a}^{2}b}=\frac{16{b}^{4}+\frac{3}{4}•4{b}^{2}}{8{b}^{3}}$=$2b+\frac{3}{8b}≥2\sqrt{2b•\frac{3}{8b}}=\sqrt{3}$．
当且仅当$2b=\frac{3}{8b}$，即${b}^{2}=\frac{3}{16}$，即$b=\frac{\sqrt{3}}{4}$时，$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{2b}$有最小值为$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．