Question

5．如图PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=2，点F是PB的中点，点E是BC边上的任意一点．
（Ⅰ）求三棱锥E-PAD的体积；
（Ⅱ）当E是BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）证明：AF⊥PE．

Answer 1

分析 （I）根据棱锥的体积公式计算；
（II）由三角形中位线定理即可证明EF∥PC，从而EF∥平面PAC；
（III）由三线合一可得AF⊥PB，由PA⊥平面ABCD得BC⊥PA，又BC⊥AB，故BC⊥平面PAB，从而由BC⊥AF，于是AF⊥平面PBC，得出AF⊥PE．

解答 解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，
∴V_E-PAD=V_P-ADE=$\frac{1}{3}•{S}_{△ADE}•AP$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1=\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）EF∥平面PAC．
证明：∵E为BC的中点，F是BP的中点，
∴EF∥PC，又∵EF?平面PAC，PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（Ⅲ）∵PA=AB，F是BP的中点，∴AF⊥PB，
∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．又∵AF?平面PAB，
∴BC⊥AF．
又∵PB⊥AF，PB?平面PBC，BC?平面PBC，PB∩BC=B，
∴AF⊥平面PBC，∵PE?平面PBC，
∴AF⊥PE．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．