Question

10．已知$α∈（\frac{π}{2}，π）$，$cos2α=sin（\frac{π}{4}-α）$，则sin2α=-$\frac{1}{2}$，sinα=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由题意可得cosα+sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，平方求得sin2α的值，可得2α的值，从而求得α的值，进而求得sinα的值．

解答 解：∵$α∈（\frac{π}{2}，π）$，∴2α∈（π，2π），
∵$cos2α=sin（\frac{π}{4}-α）$，即cos2α=（cos²α-sin²α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα-sinα）＜0，
∴2α∈（π，$\frac{3π}{2}$），
∴cosα+sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或 cosα-sinα=0（舍去）．
∴只有cosα+sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴1+sin2α=$\frac{1}{2}$，sin2α=-$\frac{1}{2}$．
此时，2α=$\frac{11π}{6}$（舍去）或$\frac{7π}{6}$；
∵α=$\frac{7π}{12}$，
∴sinα=sin（$\frac{7π}{12}$）=sin（$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$）=sin$\frac{π}{3}$cos$\frac{π}{4}$+cos$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$；$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式的应用，属于中档题．