Question

15．已知四边形ABCD的对角线相交于一点，$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{3}$，1），则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$的取值范围是（　　）

• A． （0，2）
• B． （0，4]
• C． [-2，0）
• D． [-4，0）

Answer 1

分析 根据向量的模的计算和向量的坐标运算得到四边形ABCD为对角线垂直且相等的四边形，问题得以解决．

解答 解：∵$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{3}$，1），
∴|$\overrightarrow{AC}$|=2，|$\overrightarrow{BD}$|=2，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=1×（-$\sqrt{3}$）+$\sqrt{3}$×1=0，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∴|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{2}$，
设AC与BD交点为O，OC=x，OD=y，则AO=2-x，BO=2-y；
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{OD}$）=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OD}$=x（x-2）+y（y-2）=（x-1）²+（y-1）²-2，（0＜x，y＜2）；
∴当x=y=1时，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=-2为最小值，
当x→0或1，y→0或1时，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$接近最大值0，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$的取值范围是[-2，0），
故选：C．

点评 本题考查了向量的坐标运算和向量的模的计算以及向量的夹角公式，属于中档题．