Question

4．已知向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$夹角为120°，|$\overrightarrow{AB}$|=5，|$\overrightarrow{AC}$|=2，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$，若$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，则λ=$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 根据向量数量积的公式，结合向量垂直的关系即可得到结论．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$夹角为120°，|$\overrightarrow{AB}$|=5，|$\overrightarrow{AC}$|=2，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos120°=5×2×（-$\frac{1}{2}$）=-5，
∵$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
∴（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$）（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=0，
即$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$+λ${\overrightarrow{AC}}^{2}$-λ$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=0，
∴-5-25+4λ+5λ=0
解得λ=$\frac{10}{3}$，
故答案为：$\frac{10}{3}$．

点评 本题主要考查平面向量的基本运算，利用向量垂直和数量积之间的关系是解决本题的关键．