Question

9．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
（1）若F，A分别是椭圆的右焦点，右顶点，H是直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$与x轴的交点，设$\frac{|AF|}{|OH|}$=f（e）（e为椭圆的离心率），求f（e）的最大值；
（2）若点P（x₀，y₀）是椭圆上任意一点，从原点O作圆（x-x₀）²+（y-y₀）²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$的两条切线，且两条切线的斜率都存在，记为k₁，k₂，求k₁k₂的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得H（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），O（0，0），F（c，0），A（a，0）求得|FA|=a-c，|OH|=$\frac{{a}^{2}}{c}$，运用离心率公式可得f（e）=e-e²，配方即可得到所求最大值；
（2）将P的坐标代入椭圆，可得y₀²=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$（a²-x₀²）①，再由直线y=kx与圆相切，可得d=r，化简整理可得k的二次方程，运用韦达定理，可得k₁k₂，代入①，化简整理即可得到定值．

解答 解：（1）由题设，H点的坐标为H（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），O（0，0），F（c，0），A（a，0）
∴|FA|=a-c，|OH|=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
f（e）=$\frac{|AF|}{|OH|}$=$\frac{a-c}{\frac{{a}^{2}}{c}}$=$\frac{c}{a}$-$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=e-e²=-（e²-e）=-（e-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∴当e=$\frac{1}{2}$时，f（e）取得最大值，且为$\frac{1}{4}$；
（2）由点P（x₀，y₀）是椭圆上任意一点，
可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即为y₀²=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$（a²-x₀²），①
∵直线y=kx与圆相切，
∴d=r，即$\frac{|{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
整理可得（a²b²-x₀²（a²+b²））k²+2x₀y₀（a²+b²）k+a²b²-y₀²（a²+b²）=0，
即有k₁k₂=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}-{{y}_{0}}^{2}（{a}^{2}+{b}^{2}）}{{a}^{2}{b}^{2}-{{x}_{0}}^{2}（{a}^{2}+{b}^{2}）}$，
代入①，化简可得k₁k₂=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查两点的距离公式的运用和二次函数的最值的求法，考查直线和圆相切的条件：d=r，以及化简整理的运算能力，属于中档题．