Question

14．已知点（$\frac{π}{8}$，$\sqrt{2}$）是函数f（x）=2（asinx+bcosx）•cosx-b图象的一个最大值点．
（I）求实数a、b的值；
（Ⅱ）若f（α）=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，-$\frac{3π}{8}$$＜α＜\frac{π}{8}$，求cos2α

Answer 1

分析 （I）化简可得f（x）=asin2x+bcos2x，由最大值可得ab的方程组，解方程组可得；
（Ⅱ）由题意和解析式可得sin（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$，由角的范围和同角三角函数基本关系可得cos（2α+$\frac{π}{4}$），整体代入cos2α=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2α+$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2α+$\frac{π}{4}$），计算可得．

解答 解：（I）化简可得f（x）=2（asinx+bcosx）•cosx-b
=2asinxcosx+2bcos²x-b=asin2x+bcos2x，
∵点（$\frac{π}{8}$，$\sqrt{2}$）是函数f（x）图象的一个最大值点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{2}}\\{a•\frac{\sqrt{2}}{2}+b•\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得a=b=1；
（Ⅱ）由（I）可知f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∵f（α）=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，∴$\sqrt{2}$sin（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，即sin（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$，
∵-$\frac{3π}{8}$$＜α＜\frac{π}{8}$，∴-$\frac{π}{2}$＜2α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$，
∴cos（2α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（2α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{3}{5}$，
∴cos2α=cos[（2α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2α+$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2α+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3}{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{4}{5}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的图象和性质以及和差角的三角函数公式，属中档题．