Question

2．已知函数f（x）=x²-x|x-a|-ka（k为常数且k＞0）．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）恰有两个不同的零点x₁，x₂，求|x₁-x₂|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用分段函数的性质求出分段函数的表达式，即可求出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）讨论a的取值范围结合函数f（x）有两个零点，构造函数，结合一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）若a=1，f（x）=x²-x|x-1|-k，
若x≥1，则f（x）=x²-x|x-1|-k=x-k，此时函数为增函数，
当x＜1时，则f（x）=x²-x|x-1|-k=2x²-x-k=2（x-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{8}$-k，
此时在（-∞，$\frac{1}{4}$]为减函数，在[$\frac{1}{4}$，1]上为增函数，
即函数的增区间为[$\frac{1}{4}$，+∞），减区间为（-∞，$\frac{1}{4}$]；
（Ⅱ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a（x-k），}&{x≥a}\\{2{x}^{2}-ax-ak，}&{x＜a}\end{array}\right.$，
当a＜0时，
①若x≥a，则由a（x-k）=0，得x₁=k＞0＞a．
②当x＜0时，y=2x²-ax-ak在（-∞，$\frac{a}{4}$）上单调递减，且$\frac{a}{4}$＞a，
∴y=2x²-ax-ak在（-∞，a）上单调递减，
∴y=2x²-ax-ak＞2a²-a²-ak=a²-ak＞0，
∴x＜0时，2x²-ax-ak=0无解，不满足条件．
当a＞0时，①若0＜a≤k，
若x≥a，则x-k=0，j即x₁-k≥a 是方程f（x）=0的根，
若x＜a，令g（x）=2x²-ax-ak，
则g（a）=2a²-a²-ak=a²-ak=a（x-k）＜0，
∴在（-∞，a）上存在唯一的x₂，使f（x₂）=0．
此时|x₁-x₂|=k-$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8ak}}{4}$≥k-$\frac{k-\sqrt{{k}^{2}+8{k}^{2}}}{4}$=$\frac{3k}{2}$，
②当a＜k时，a（x-k）=0无解，g（a）=a（a-k）＞0，
g（$\frac{a}{4}$）=$\frac{{a}^{2}}{8}-\frac{{a}^{2}}{4}-ak$=$-\frac{{a}^{2}}{8}-ak$＜0，
∴在（-∞，a）上f（x）有两个零点，
此时|x₁-x₂|=k-$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8ak}}{4}$＞$\frac{3k}{2}$，
综上|x₁-x₂|=k-$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8ak}}{4}$≥$\frac{3k}{2}$．

点评 本题主要考查函数单调性和函数零点的应用，根据分段函数的性质是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．