Question

5．在锐角△ABC中，已知$∠B=\frac{π}{3}，|{\overrightarrow{BC}}|=2$，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的取值范围是（0，12）．

Answer 1

分析 以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围

解答 解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，
因为∠B=$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{BC}$|=2，所以C（1，$\sqrt{3}$），设A（x，0）
因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，
∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，
则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，所以则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的范围为（0，12）．
故答案为：（0，12）．

点评 本题考查了向量的几何意义以及利用坐标法求数量积范围，属于中档题．