Question

15．四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DA=2，F，E分别为AD、PC的中点．
（1）证明：DE∥平面PFB；
（2）求三棱锥A-PFB的体积．

Answer 1

分析 （1）取PB中点G，连接EG，FG，则由中位线定理可得四边形DEGF是平行四边形，即DE∥FG，从而DE∥平面PFB；
（2）以△ABF为棱锥的底面，则PD为棱锥的高．

解答 解：（1）取PB中点G，连接EG，FG
∵E，G分别是PC，PB的中点，
∴EG∥BC，$EG=\frac{1}{2}BC$，
∵DF∥$BC，DF=\frac{1}{2}BC$，
∴EG∥DF，EG=DF．
∴四边形DEGF是平行四边形，
∴DE∥FG，∵DE?平面PFB，FG⊆平面PFB
∴DE∥平面PFB．
（2）${S_{△AFB}}=\frac{1}{2}AF•AB=1$，
∴三棱锥A-PFB的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△AFB}•PD$=$\frac{1}{3}×1×2$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．