Question

10．已知钝角△ABC的面积为$\frac{1}{2}$，AB=1，BC=$\sqrt{2}$，则角B=$\frac{3π}{4}$，AC=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用已知及三角形面积公式可求sinB，可求B=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，分类讨论：当B=$\frac{π}{4}$时，由余弦定理可得AC=1，可得AB²+AC²=BC²，为直角三角形，舍去，从而利用余弦定理可得AC的值．

解答 解：∵钝角△ABC的面积为$\frac{1}{2}$，AB=1，BC=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}×$1×$\sqrt{2}$×sinB，解得：sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，
∵当B=$\frac{π}{4}$时，由余弦定理可得AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BC•cosB}$=$\sqrt{1+2-2×1×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=1，
此时，AB²+AC²=BC²，可得A=$\frac{π}{2}$，为直角三角形，矛盾，舍去．
∴B=$\frac{3π}{4}$，由余弦定理可得AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BC•cosB}$=$\sqrt{1+2+2×1×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{5}$，
故答案为：$\frac{3π}{4}$；$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．