Question

2．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．
（Ⅰ）求证：直线DA⊥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥B-PAC的体积．

Answer 1

分析 （I）根据矩形的性质得出AD⊥AB，AD∥BC，由BC⊥PB得出AD⊥BP，故AD⊥平面PAB；
（II）将△PAB当作棱锥的底面，则棱锥的高为BC，代入体积公式计算．

解答 （I）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，AD∥BC．
∵∠PBC=90°，∴BC⊥PB，
∴AD⊥PB，又AB?平面APB，BP?平面ABP，AB∩BP=B，
∴DA⊥平面PAB．
（II）解：∵AD∥BC，AD⊥平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，BC=AD=1．
∵S_△PAB=$\frac{1}{2}PA•AB•sin∠PAB$=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴三棱锥B-PAC的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△PAB}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．