Question

11．在△ABC中，内角A，B，C对的边长分别是a，b，c，cosB+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosC=0
（1）求C的值；
（2）若c=2，求a+2b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）cosB+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosC=0，可得-cos（A+C）+cosAcosC-$\sqrt{3}$sinAcosC=0，可化为tanC=$\sqrt{3}$，即可得出C的值；
（2）利用正弦定理把a+2b转化为含有角A的三角函数，运用辅助角公式化积后求得范围．

解答 解：（1）cosB+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosC=0，
∴-cos（A+C）+cosAcosC-$\sqrt{3}$sinAcosC=0，
化为sinAsinC=$\sqrt{3}$sinAcosC，
∵sinA≠0，
∴sinC=$\sqrt{3}$cosC，
∵cosC≠0，∴tanC=$\sqrt{3}$，
∵C∈（0，π）．
解得C=$\frac{π}{3}$；
（2）∵c=2，且C=$\frac{π}{3}$，
∴由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{2}{sin\frac{π}{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
得$a=\frac{4\sqrt{3}}{3}sinA，b=\frac{4\sqrt{3}}{3}sinB$，
则a+2b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}[sinA+2sin（\frac{2π}{3}-A）]$
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}（sinA+\sqrt{3}cosA+sinA）$
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}（2sinA+\sqrt{3}cosA）$=$\frac{4\sqrt{21}}{3}sin（A+θ）$（tan$θ=\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，∴θ＜A+θ$＜\frac{2π}{3}+θ$，
则当A=$\frac{2π}{3}$，sinθ=$\sqrt{\frac{3}{7}}$，cos$θ=\frac{2}{\sqrt{7}}$时，
（a+2b）_min=$\frac{4\sqrt{21}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=4$；
当A$+θ=\frac{π}{2}$时，$（a+2b）_{max}=\frac{4\sqrt{21}}{3}$．
∴a+2b的取值范围为[4，$\frac{4\sqrt{21}}{3}$]．

点评 本题考查了余弦定理、两角和差的正弦公式、诱导公式、三角函数的内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．