Question

6．在等比数列{a_n}中，a₁+a₂+…+a₅=27，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{5}}$=3，则a₃=3．

Answer 1

分析 设出等比数列的公比，把已知等式化为关于a₃和q的等式，作比求得a₃的值．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
由a₁+a₂+…+a₅=27，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{5}}$=3，
得$\frac{{a}_{3}}{{q}^{2}}+\frac{{a}_{3}}{q}+{a}_{3}+{a}_{3}q+{a}_{3}{q}^{2}=27$，①
$\frac{{q}^{2}}{{a}_{3}}+\frac{q}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{3}q}+\frac{1}{{a}_{3}{q}^{2}}=3$，②
两式相除，可得${{a}_{3}}^{2}=9$，
∴a₃=±3．
当a₃=-3时，∵a₁+a₂+…+a₅=27＞0，
∴a₂＞0，此时q＜0，代入①不成立，
∴a₃=3．
故答案为：3．

点评 本题考查等比数列的通项，考查学生的计算能力，是基础题．