Question

5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知2c-a=$\frac{bcosA}{cosB}$，且△ABC的面积为4$\sqrt{3}$，则b的最小值为4．

Answer 1

分析 由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知，整理可得：2sinCcosB=sin（A+B）=sinC，由sinC≠0，解得cosB=$\frac{1}{2}$，结合范围B∈（0，π），可得B=$\frac{π}{3}$，利用三角形面积公式可求ac=16，由余弦定理及基本不等式即可解得b的最小值．

解答 解：∵2c-a=$\frac{bcosA}{cosB}$，
∴由正弦定理可得：cosB（2sinC-sinA）=sinBcosA，整理可得：2sinCcosB=sin（A+B）=sinC，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴解得：cosB=$\frac{1}{2}$，由B∈（0，π），可得B=$\frac{π}{3}$，
又∵△ABC的面积为4$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$×ac，解得：ac=16，
∴由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac=16，（当且仅当a=c=4时成立），
∴解得：b≥4．
故答案为：4．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理及基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题．