Question

13．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，且F₁，F₂与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，点P（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在椭圆C上．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过F₂作互相垂直的两直线AB，CD分别交椭圆于点A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点，求△MNF₂面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得到关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，则直线CD的方程为x=-$\frac{1}{m}$y+1，分别代入椭圆方程，由于韦达定理和中点坐标公式可得中点M，N的坐标，求得斜率和直线方程，即可得到定点H，则△MNF₂面积为S=$\frac{1}{2}$|F₂H|•|y_M-y_N|，化简整理，再令m+$\frac{1}{m}$=t（t≥2），由于函数的单调性，即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点P（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
且F₁，F₂与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=c}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{2{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=2，b²=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，
则直线CD的方程为x=-$\frac{1}{m}$y+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去x得（m²+2）y²+2my-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{-1}{{m}^{2}+2}$，
∴x₁+x₂=（my₁+1）+（my₂+1）
=m（y₁+y₂）+2=$\frac{4}{{m}^{2}+2}$，
由中点坐标公式得M（$\frac{2}{{m}^{2}+2}，-\frac{m}{{m}^{2}+2}$），
将M的坐标中的m用-$\frac{1}{m}$代换，得CD的中点N（$\frac{2{m}^{2}}{2{m}^{2}+1}，\frac{m}{2{m}^{2}+1}$），
k_MN=$\frac{3m}{2（{m}^{2}-1）}$，
直线MN的方程为y+$\frac{m}{{m}^{2}+2}$=$\frac{3m}{2（{m}^{2}-1）}$（x-$\frac{2}{{m}^{2}+2}$），
即为y=$\frac{m}{{m}^{2}-1}（\frac{3}{2}x-1）$，
令$\frac{3}{2}x-1=0$，可得x=$\frac{2}{3}$，即有y=0，
则直线MN过定点H，且为H（$\frac{2}{3}$，0），
∴△F₂MN面积为S=$\frac{1}{2}$|F₂H|•|y_M-y_N|
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{2}{3}$）•|$-\frac{m}{{m}^{2}+2}-\frac{m}{2{m}^{2}+1}$|=$\frac{1}{2}$|$\frac{{m}^{3}+m}{2{m}^{4}+5{m}^{2}+2}$|=$\frac{1}{2}$|$\frac{m+\frac{1}{m}}{2（{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}）+5}$|，
令m+$\frac{1}{m}$=t（t≥2），由于2t+$\frac{1}{t}$的导数为2-$\frac{1}{{t}^{2}}$，且大于0，即有在[2，+∞）递增．
即有S=$\frac{1}{2}$$•\frac{t}{2{t}^{2}+1}$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{2t+\frac{1}{t}}$在[2，+∞）递减，
∴当t=2，即m=1时，S取得最大值，为$\frac{1}{9}$；
则△MNF₂面积的最大值为$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理和基本不等式和函数的单调性等知识点的合理运用，是压轴题．