Question

1．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在点x₀处取得极大值5，其导导数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求x₀的值和函数（x）的极小值．

Answer 1

分析 观察图象满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极小值，求出x₀的值；由函数的图象知函数在x=2处取得极小值．

解答 解：由图象可知，在（-∞，1）上f′（x）＞0，在（1，2）上f′（x）＜0．
在（2，+∞）上f′（x）＞0．
故f（x）在（-∞，1），（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减．
因此f（x）在x=1处取得极大值，所以x₀=1．
f′（x）=3ax²+2bx+c，
由f′（1）=0，f′（2）=0，f（1）=5，
得$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b+c=0}\\{12a+4b+c=0}\\{a+b+c=5}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=-9，c=12；
可得函数在x=2处取得极小值f（2）=2×2³-9×2²+24=4．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值、单调性，以及观察图形的能力，属于中档题．