Question

6．已知函数f（x）=（$\frac{a}{2}$x-1）ln$\frac{a}{x}$（a＞0）．
（1）若函数f（x）在x=1处的切线斜率为$\frac{1}{2}$，求a的值；
（2）若f（x）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=1；
（2）由题意可得（$\frac{a}{2}$x-1）ln$\frac{a}{x}$≤0（a＞0），即（$\frac{a}{2}$x-1）（lna-lnx）≤0（a＞0）设h（x）=（$\frac{a}{2}$x-1）（lna-lnx），求出导数，由h′（a）≤0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）f（x）=（$\frac{a}{2}$x-1）ln$\frac{a}{x}$的导数为
f′（x）=$\frac{a}{2}$ln$\frac{a}{x}$+（$\frac{a}{2}$x-1）（-$\frac{1}{x}$），
可得在x=1处的切线斜率为$\frac{a}{2}$lna+1-$\frac{a}{2}$=$\frac{1}{2}$，
即为a-alna=1，
由g（a）=a-alna的导数为g′（a）=1-（1+lna）=-lna，
当a＞1时，g（a）递减；当0＜a＜1时，g（a）递增．
可得a=1为极大值点，即有g（1）=1，
解得a=1；
（2）若f（x）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
即为（$\frac{a}{2}$x-1）ln$\frac{a}{x}$≤0（a＞0），
即（$\frac{a}{2}$x-1）（lna-lnx）≤0（a＞0）
设h（x）=（$\frac{a}{2}$x-1）（lna-lnx），
h′（x）=$\frac{a}{2}$（lna-lnx）+（$\frac{a}{2}$x-1）（-$\frac{1}{x}$）
由h（a）=0，可得h′（a）≤0，
即有$\frac{a}{2}$（lna-lna）+（$\frac{{a}^{2}}{2}$-1）（-$\frac{1}{a}$）≤0，
解得a≥$\sqrt{2}$．
可得a的范围是[$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，极值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用构造函数，考查运算能力，属于中档题．