Question

9．定义f（n）=$\sum_{i=1}^{n}$[$\frac{n}{i}$]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，则f（2010）-f（2009）=16．

Answer 1

分析 利用性质：由于2010=1×2×3×5×67，2009=1×7×7×41，可得：$[\frac{2010}{i}]$-$[\frac{2009}{i}]$=f（i），i∈{1，2，…，2009}．当i=1，2，3，5，67，6，10，134，15，191，335，30，402，670，1005时，f（i）=1；当i取其它值时，f（i）=0．

解答 解：f（2010）-f（2009）=$[\frac{2010}{1}]$+$[\frac{2010}{2}]$+…+$[\frac{2010}{2008}]$+$[\frac{2010}{2009}]$+$[\frac{2010}{2010}]$-（$[\frac{2009}{1}]$+$[\frac{2009}{2}]$+…+$[\frac{2009}{502}]$+$[\frac{2009}{503}]$+…+$[\frac{2009}{669}]$+…+$[\frac{2009}{1004}]$+$[\frac{2009}{1005}]$+…+$[\frac{2009}{2008}]$+$[\frac{2009}{2009}]$），
利用性质：由于2010=1×2×3×5×67，2009=1×7×7×41，
可得：$[\frac{2010}{i}]$-$[\frac{2009}{i}]$=f（i），i∈{1，2，…，2009}．
①当i=1，2，3，5，67，6，10，134，15，191，335，30，402，670，1005时，f（i）=1；
②当i取其它值时，f（i）=0．
∴f（2010）-f（2009）=15+$[\frac{2010}{2010}]$=16，
故答案为：16．

点评 本题考查了高斯函数[x]的性质、分类讨论方法、数的分解，考查了推理能力与计算能力，属于难题．