Question

19．已知点A（1，0），点B为圆x²+y²=2014上的任意一点，设AB的中垂线l与OB的交点为C，则点C的轨迹方程为$\frac{{4{{（{x-\frac{1}{2}}）}^2}}}{2014}+\frac{{4{y^2}}}{2013}=1$．

Answer 1

分析 设B（$\sqrt{2014}cosα$，$\sqrt{2014}$sinα），求出AB的中垂线和直线OB的方程，由此能求出点C的轨迹方程．

解答 解：∵点A（1，0），点B为圆x²+y²=2014上的任意一点，设AB的中垂线l与OB的交点为C，
∴设B（$\sqrt{2014}cosα$，$\sqrt{2014}$sinα），
∴AB的中点为：（$\frac{1+\sqrt{2014}cosα}{2}$，$\frac{\sqrt{2014}sinα}{2}$），直线AB的斜率k_AB=$\frac{\sqrt{2014}sinα}{\sqrt{2014}cosα-1}$
∴AB的中垂线为：y-$\frac{\sqrt{2014}sinα}{2}$=$\frac{1-\sqrt{2014}cosα}{\sqrt{2014}sinα}$（x-$\frac{1+\sqrt{2014}cosα}{2}$），①
直线OB的方程为：$\frac{y}{x}$=$\frac{\sqrt{2014}sinα}{1+\sqrt{2014}cosα}$，②sin²α+cos²α=1，③，
联立①②③，得：
$\frac{{4{{（{x-\frac{1}{2}}）}^2}}}{2014}+\frac{{4{y^2}}}{2013}=1$．
故答案为：$\frac{{4{{（{x-\frac{1}{2}}）}^2}}}{2014}+\frac{{4{y^2}}}{2013}=1$．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的参数方程、直线的斜率、直线方程的性质的合理运用．