Question

7．在△ABC中，点D在BC边上，已知cos∠CAD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos∠C=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
（1）求∠ADC；
（2）若$AB=\sqrt{10}，CD=6$，求BD．

Answer 1

分析 （1）由cos∠CAD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos∠C=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，∠CAD，∠C∈（0，π），可得sin∠CAD=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠CAD}$，sin∠C=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠C}$．可得cos∠ADC=-cos（∠CAD+∠C）=-cos∠CADcos∠C+sin∠CADsin∠C．
（2）在△ADC中，由正弦定理可得：AD=$\frac{DCsin∠C}{sin∠CAD}$，在△ABD中，∠ADB=π-∠ADC=$\frac{π}{4}$，由余弦定理可得：10=BD²+18-2×$3\sqrt{2}$•BD•$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化简整理即可得出．

解答 解：（1）∵cos∠CAD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos∠C=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，∠CAD，∠C∈（0，π），
∴sin∠CAD=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠CAD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin∠C=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠C}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴cos∠ADC=-cos（∠CAD+∠C）=-cos∠CADcos∠C+sin∠CADsin∠C=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}×$$\frac{\sqrt{10}}{10}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又∠CDA∈（0，π），∴∠CDA=$\frac{3π}{4}$．
（2）在△ADC中，由正弦定理可得：AD=$\frac{DCsin∠C}{sin∠CAD}$=3$\sqrt{2}$，
在△ABD中，∠ADB=π-∠ADC=$\frac{π}{4}$，
由余弦定理可得：10=BD²+18-2×$3\sqrt{2}$•BD•$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
化简得：BD²-6BD+8=0，解得BD=4或BD=2．
综上所述：BD=4或2．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理的应用、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．