Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（0，t²+1），则当$t∈[-\sqrt{3}，2]$时，|$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$|的取值范围是[1，$\sqrt{13}$]．

Answer 1

分析 求出$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=（0，1），再根据向量差的几何意义，求出|$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$|的解析式，从而求出它的取值范围．

解答 解：由题意，$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=（0，1），
根据向量的差的几何意义，|$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$|表示向量t$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$的终点到向量$\overrightarrow{a}$的终点的距离d，
所以d=$\sqrt{{（-1）}^{2}{+（t-\sqrt{3}）}^{2}}$；
所以，当t=$\sqrt{3}$时，该距离取得最小值为1，
当t=-$\sqrt{3}$时，该距离取得最大值为$\sqrt{13}$，
即|$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$|的取值范围是[1，$\sqrt{13}$]．
故答案为：[1，$\sqrt{13}$]．

点评 本题利用数形结合思想，考查了平面向量的几何意义，也考查了函数的最值问题以及计算求解能力的应用问题，是基础题目．