Question

8．已知a，b为正实数，变量x，y满足x+y=6$\sqrt{x+a}$+8$\sqrt{y+b}$，若x+y有最大值110，则$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{9}{11}$．

Answer 1

分析 令m=$\sqrt{x+a}$≥0，n=$\sqrt{y+b}$≥0，可得x=m²-a，y=n²-b，m²-a+n²-b=6m+8n，（m-3）²+（n-4）²=25+a+b．其圆上的点到原点的最大距离=d+r=5+$\sqrt{25+a+b}$．由x+y=m²+n²-a-b，x+y取得最大值110时，可得$（5+\sqrt{25+a+b}）^{2}$-a-b=110，化为a+b=11．再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：令m=$\sqrt{x+a}$≥0，n=$\sqrt{y+b}$≥0，
则x=m²-a，y=n²-b，m²-a+n²-b=6m+8n，
∴（m-3）²+（n-4）²=25+a+b．
其圆心（3，4）到原点的距离d=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
因此其圆上的点到原点的最大距离为d+r=5+$\sqrt{25+a+b}$．
由x+y=m²+n²-a-b，
x+y取得最大值110时，
m²+n²-a-b=$（5+\sqrt{25+a+b}）^{2}$-a-b，
=50+10$\sqrt{25+a+b}$=110，化为a+b=11．
∴$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{11}$（a+b）$（\frac{4}{a}+\frac{1}{b}）$=$\frac{1}{11}$（5+$\frac{4b}{a}+\frac{a}{b}$）≥$\frac{1}{11}（5+2\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}{b}}）$=$\frac{9}{11}$，当且仅当a=2b=$\frac{22}{3}$时取等号．

点评 本题考查了点与圆的位置关系、基本不等式的性质、换元法、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．