Question

13．如图，在△ABC中，AB=12．AC=3$\sqrt{6}$，BC=5$\sqrt{6}$．点D在边BC上．且∠ADB=120°．
（I）求cos∠CAD；
（Ⅱ）求线段AD的长．

Answer 1

分析 （I）在△ABC中使用余弦定理解出C，再在△ACD中利用内角和定理得出cos∠CAD；
（II）在△ACD中使用正弦定理求出AD．

解答 解：（I）在△ABC中，由余弦定理得cosC=$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2AC•BC}$=$\frac{1}{3}$．∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∵∠ADB=120°，∴∠ADC=60°．
∴cos∠CAD=-cos（C+60°）=sinCsin60°-cosCcos60°=$\frac{2\sqrt{6}-1}{6}$．
（II）在△ACD中，由正弦定理得$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{AD}{sinC}$，
即$\frac{3\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{AD}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$，解得AD=8．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．