Question

1．已知f（x）=$\sqrt{3}$cos²ωx+sinωxcosωx-1（ω＞0）的最小正周期是$\frac{π}{2}$，求：
（1）ω的值；
（2）函数f（x）的最大值和使f（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，由周期公式可得ω的方程，解方程可得ω值；
（2）当4x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$k∈Z时，函数取最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，变形可得此时x集合．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得
f（x）=$\sqrt{3}$cos²ωx+sinωxcosωx-1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2ωx）+$\frac{1}{2}$sin2ωx-1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1
=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1
∵函数f（x）最小正周期是$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，解得ω=2；
（2）由（1）可得f（x）=sin（4x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1
当4x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$即x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{24}$，k∈Z时，函数取最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
此时x的集合为{x|x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{24}$，k∈Z}

点评 本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的周期公式，属基础题．