Question

6．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若椭圆上存在一点P（非左、右顶点）使$\frac{a}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{c}{|P{F}_{1}|}$，该椭圆的离心率取值范围为（　　）

• A． （$\sqrt{2}-1$，1）
• B． [$\sqrt{2}$-1，1）
• C． （2-$\sqrt{2}$，1）
• D． [2-$\sqrt{2}$，1）

Answer 1

分析 把已知等式变形，由椭圆的定义可得e（${x}_{0}+\frac{{a}^{2}}{c}$）=e•e（$\frac{{a}^{2}}{c}-{x}_{0}$），解得P的横坐标x₀，由题意可得-a≤x₀≤a，再转化为关于e的不等式求得离心率e的取值范围．

解答 解：设点P的横坐标为x₀，
由$\frac{a}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{c}{|P{F}_{1}|}$，得|PF₁|=e|PF₂|，
则由椭圆的定义可得：e（${x}_{0}+\frac{{a}^{2}}{c}$）=e•e（$\frac{{a}^{2}}{c}-{x}_{0}$），
解得：${x}_{0}=\frac{c-a}{e（e+1）}$，
∵P是椭圆上的点，∴-a≤$\frac{c-a}{e（e+1）}$≤a，
即-1≤$\frac{e-1}{e（e+1）}$≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e-1≥-{e}^{2}-e}\\{e-1≤{e}^{2}+e}\end{array}\right.$，即$\sqrt{2}-1≤e＜1$，
则该椭圆的离心率e的取值范围是[$\sqrt{2}-1$，1），
故选：B．

点评 本题考查椭圆的第二定义，考查椭圆的简单性质的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．