Question

17．已知椭圆的两个焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），且椭圆与直线$y=x-\sqrt{3}$相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）过F₁作两条互相垂直的直线l₁，l₂，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=x-\sqrt{3}.\end{array}\right.$，消去y，由△=0，得a²+b²=3，由焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），得a²-b²=1，由此能求出椭圆方程；
（2）若PQ斜率不存在（或为0）时，S_{四边形PMQN}=2；若PQ斜率存在时，设为k，（k≠0），则MN的斜率为-$\frac{1}{k}$，直线PQ的方程为y=kx+k，由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+k.\end{array}\right.$，得|PQ|=2$\sqrt{2}$•$\frac{{k}^{2}+1}{2{k}^{2}+1}$，同理，得|MN|=2$\sqrt{2}$•$\frac{{k}^{2}+1}{2+{k}^{2}}$，由此求出S_{四边形PMQN}∈[$\frac{16}{9}$，2]，从而得到四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为$\frac{16}{9}$．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
因为它与直线$y=x-\sqrt{3}$只有一个公共点，
所以方程组$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=x-\sqrt{3}.\end{array}\right.$只有一解，
整理得$（{a^2}+{b^2}）{x^2}-2\sqrt{3}{a^2}x+3{a^2}-{a^2}{b^2}=0$．
所以$△={（-2\sqrt{3}{a^2}）^2}-4（{a^2}+{b^2}（3{a^2}-{a^2}{b^2}）=0$，得a²+b²=3．
又因为焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），
所以a²-b²=1，联立上式解得a²=2，b²=1，
所以椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）若直线PQ斜率不存在（或为0）时，
则${S_{四边形PMQN}}=\frac{|PQ|•|MN|}{2}=\frac{{2\sqrt{2}×2\sqrt{1-\frac{1}{2}}}}{2}=2$，
若PQ斜率存在时，设为k（k≠0），则MN的斜率为$-\frac{1}{k}$，
所以直线PQ方程为y=kx+k．
设PQ与椭圆交点坐标为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
联立方程$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+k.\end{array}\right.$，化简得（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0．
则${x_1}+{x_2}=\frac{{-4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{2{k^2}+1}}$，
所以$|PQ|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\frac{{\sqrt{（1+{k^2}）[16{k^4}-4（2{k^2}-1）（2{k^2}+1）]}}}{{2{k^2}+1}}=2\sqrt{2}\frac{{{k^2}+1}}{{2{k^2}+1}}$，
同理可得$|MN|=2\sqrt{2}\frac{{{k^2}+1}}{{2+{k^2}}}$．
所以${S_{四边形PMQN}}=\frac{|PQ|•|MN|}{2}=4\frac{{{{（{k^2}+1）}^2}}}{{（2+{k^2}）（2{k^2}+1）}}4=4\frac{{{k^4}+2{k^2}+1}}{{2{k^4}+5{k^2}+2}}=4（\frac{1}{2}-\frac{{\frac{1}{2}{k^2}}}{{2{k^4}+5{k^2}+2}}）$
=$4（\frac{1}{2}-\frac{k^2}{{4{k^4}+10{k^2}+4}}）=4（\frac{1}{2}-\frac{1}{{4{k^2}+4\frac{1}{k^2}+10}}）$，
因为$4{k^2}+4\frac{1}{k^2}+10≥2\sqrt{4{k^2}•\frac{4}{k^2}}+10=18$（当且仅当k²=1时取等号），
所以$\frac{1}{{4{k^2}+4\frac{1}{k^2}+10}}∈（0，\frac{1}{18}]$，即有$4（\frac{1}{2}-\frac{1}{{4{k^2}+4\frac{1}{k^2}+10}}）∈[\frac{16}{9}，2]$，
所以综上所述，S_{四边形PMQN}的面积的最小值为$\frac{16}{9}$，最大值为2．

点评 本题考查直线方程、椭圆方程的求法，考查四边形面积的最大值和最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．