Question

11．已知数列{a_n}各项均为正整数，首项为a₁=1，a_n²-a_n-1²=a_n+a_n-1（n≥2）
（1）求证{a_n}是等差数列并求{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$求证：数列{b_n}的前n项和S_n＜1．

Answer 1

分析 由a_n²-a_n-1²=a_n+a_n-1可得a_n-a_n-1=1，从而证明并求通项公式；
（2）化简b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，从而利用裂项求和法求其前n项和．

解答 解：（1）∵a_n²-a_n-1²=a_n+a_n-1，
∴（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）=a_n+a_n-1，
∵数列{a_n}各项均为正整数，
∴a_n-a_n-1=1，
∴{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴a_n=n；
（2）证明：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故S_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=1-$\frac{1}{n+1}$＜1；
故S_n＜1．

点评 本题考查了方程的思想的应用及裂项求和法的应用．