Question

10．已知方程（x²-mx+4）（x²-nx+4）=0的四个根组成一个首项$\frac{1}{4}$的等比数列，则|m-n|的值为（　　）

• A． 0
• B． $11\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 方程（x²-mx+4）（x²-nx+4）=0，即方程x²-mx+4=0，x²-nx+4=0，设方程x²-mx+4=0的两个实数根分别为x₁，x₂，x²-nx+4=0的两个实数根分别为x₃，x₄．可得x₁+x₂=m，x₁x₂=4，x₃+x₄=n，x₃•x₄=4，不妨设x₁＜x₂，x₃＜x₄，则此数列为$\frac{1}{4}$，x₃，x₄，x₂．设公比为q．利用等比数列的性质即可得出．

解答 解：方程（x²-mx+4）（x²-nx+4）=0，即方程x²-mx+4=0，x²-nx+4=0，
设方程x²-mx+4=0的两个实数根分别为x₁，x₂，
x²-nx+4=0的两个实数根分别为x₃，x₄．
则x₁+x₂=m，x₁x₂=4，x₃+x₄=n，x₃•x₄=4，
不妨设x₁＜x₂，x₃＜x₄，
则此数列为$\frac{1}{4}$，x₃，x₄，x₂．设公比为q．
∴x₁=$\frac{1}{4}$，x₃=$\frac{1}{4}$q，x₄=$\frac{1}{4}{q}^{2}$，x₂=$\frac{1}{4}{q}^{3}$．
∴$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}{q}^{3}$=4，
解得q=4．
∴此数列为：$\frac{1}{4}$，1，4，16．
∴m=$\frac{1}{4}$+16，n=1+4．
∴|m-n|=|$\frac{1}{4}$+16-5|=$\frac{45}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．