设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1.$\frac{{2S} {n}}{n}$=an+1-$\frac{1}{3}$n2-n-$\frac{2}{3}$.n∈N*．(I)求证:{$\frac{{a} {n}}{n}$}为等差数列.并求数列{an}的通项公式,(Ⅱ)数列{cn}的前n项和为Tn.cn=$\frac{\sqrt{{a} {n}}-2}{{2}^{n-1}}$.是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，$\frac{{2S}_{n}}{n}$=a_n+1-$\frac{1}{3}$n²-n-$\frac{2}{3}$，n∈N^*．
（I）求证：{$\frac{{a}_{n}}{n}$}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{c_n}的前n项和为T_n，c_n=$\frac{\sqrt{{a}_{n}}-2}{{2}^{n-1}}$，是否存在实数λ，对于任意n∈N^*．使T_n＞（-1）ⁿλ恒成立？若存在，求出λ范围；若不存在，请说明理由．

分析（I）利用递推关系与等差数列的定义即可证明；
（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答（I）证明：∵$\frac{{2S}_{n}}{n}$=a_n+1-$\frac{1}{3}$n²-n-$\frac{2}{3}$，n∈N^*，即2S_n=na_n+1-$\frac{1}{3}{n}^{3}$-n²-$\frac{2}{3}n$，
当n≥2时，2S_n-1=（n-1）a_n-$\frac{1}{3}（n-1）^{3}$-（n-1）²-$\frac{2}{3}$（n-1），
可得：2a_n=na_n+1-（n-1）a_n-n（n+1），
化为$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，
∴{$\frac{{a}_{n}}{n}$}为等差数列，首项为1，公差为1，
可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+（n-1）=n，解得a_n=n²．
（II）解：c_n=$\frac{\sqrt{{a}_{n}}-2}{{2}^{n-1}}$=$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$，
∴数列{c_n}的前n项和为T_n=-1+0+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$-\frac{1}{2}$+0+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-3}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n-2}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=-1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n-2}{{2}^{n}}$=-2+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n-2}{{2}^{n}}$=-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
假设存在实数λ，对于任意n∈N^*．使T_n＞（-1）ⁿλ恒成立，
则-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$＞（-1）ⁿλ，
n为偶数时，λ＜-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
n为奇数时，$λ＞\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
因此不成立，即不存在实数λ，对于任意n∈N^*．使T_n＞（-1）ⁿλ恒成立．

点评本题考查了递推关系、等差数列的定义及其通项公式、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式、分类讨论方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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