Question

8．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥4}\\{4x-y≤8}\\{x-y≥-1}\end{array}\right.$，则x²+y²-2x的取值范围是[-$\frac{1}{5}$，24]．

Answer 1

分析 画出可行域，通过目标函数的几何意义求解即可．

解答 解：先根据约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥4}\\{4x-y≤8}\\{x-y≥-1}\end{array}\right.$，画出可行域，
z=x²+y²-2x，
表示可行域内点到点P（1，0）距离的平方再减去1，
点P到直线2x+y-4=0的距离是点P到区域内的最小值，
d=$\frac{|2-4|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴z=x²+y²-2x的最小值为-$\frac{1}{5}$；
由$\left\{\begin{array}{l}{4x-y=8}\\{x-y=-1}\end{array}\right.$，可得A（3，4）
点P到点A的距离是点P到区域内的最大值，此时d=5
∴z=x²+y²-2x的最大值为 24；
故答案为：[-$\frac{1}{5}$，24]．

点评 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．