Question

19．已知O在△ABC内，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，且AB⊥AC，AB=3，BC=5，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OA}$的值为（　　）

• A． 8
• B． -$4\sqrt{3}$
• C． 16
• D． $16\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设$|\overrightarrow{OA}|=a，|\overrightarrow{OB}|=b，|\overrightarrow{OC}|=c$，由三角形面积相等求得ab+bc+ac的值，然后代入数量积公式求得答案．

解答 解：如图，设$|\overrightarrow{OA}|=a，|\overrightarrow{OB}|=b，|\overrightarrow{OC}|=c$，

∵AB⊥AC，AB=3，BC=5，∴AC=4，
则${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×4=6$，
又${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}（ab+bc+ac）sin120°=\frac{\sqrt{3}}{4}（ab+bc+ac）$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}（ab+bc+ac）=6$，解得：ab+bc+ac=$8\sqrt{3}$．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OA}$=ab•cos120°+bc•cos120°+ac•cos120°
=$-\frac{1}{2}（ab+bc+ac）=-\frac{1}{2}×8\sqrt{3}=-4\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，利用三角形面积相等是关键，是中档题．