Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，短轴的两个端点分别为B₁，B₂，且离心率e=$\frac{2}{3}$，若四边形F₁B₁F₂B₂的内切圆面积为$\frac{20π}{9}$，则椭圆C的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{9}$$+\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{36}$$+\frac{{y}^{2}}{20}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{6}$$+\frac{3{y}^{2}}{10}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 由已知得椭圆离心率e=$\frac{2}{3}$，原点O（0，0）到直线B₂F₂：$\frac{x}{c}+\frac{y}{b}$=1的距离为$\frac{\sqrt{20}}{3}$，由此列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．

解答 解：∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，
短轴的两个端点分别为B₁，B₂，且离心率e=$\frac{2}{3}$，四边形F₁B₁F₂B₂的内切圆面积为$\frac{20π}{9}$，
∴原点O（0，0）到直线B₂F₂：$\frac{x}{c}+\frac{y}{b}$=1的距离为$\frac{\sqrt{20}}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}}\\{\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}=\frac{\sqrt{20}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=3，b=$\sqrt{5}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$$+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{9}$$+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

点评 本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、圆的性质的合理运用．