Question

6．已知正项数列{a_n}中a₁=1，且${a}_{n}^{2}$•a_n+1+（S_n-S_n-1）²-a_n•a_n+1=0，则a_n=$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，继而得到数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以公差为1的等差数列，即可求出通项公式．

解答 解：∵${a}_{n}^{2}$•a_n+1-（S_n-S_n-1）²+a_n•a_n+1=0，
∴${a}_{n}^{2}$•a_n+1-a_n²+a_n•a_n+1=0，
∵正项数列{a_n}，
∴a_n•a_n+1-a_n+a_n+1=0，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以公差为1的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n，
∴a_n=$\frac{1}{n}$
故答案为：$\frac{1}{n}$

点评 本题考查数列递推式，通项公式的关系，等差数列的定义的应用，考查计算能力，是中档题．