Question

18．在数列{a_n}中．a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n-n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n-n+1，得到$\frac{{a}_{n+1}-（n+1）}{{a}_{n}-n}$=2，即可得到数列{a_n-n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
（2）由（1）可得a_n-n=1•2^n-1，即可求出通项公式．

解答 解：（1）a_n+1=2a_n-n+1，
∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
∴$\frac{{a}_{n+1}-（n+1）}{{a}_{n}-n}$=2，
∵a₁=2，
∴a₁-1=2-1=1，
∴数列{a_n-n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，；
（2）由（1）可得a_n-n=1•2^n-1，
∴a_n=n+2^n-1．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．