Question

4．设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（2b-c）cosA=acosC．
（1）求A；
（2）若a=1，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由（2b-c）cosA=acosC，利用正弦定理可得：2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC，化为2sinBcosA=sinB，可得cosA=$\frac{1}{2}$，即可得出A．
（2）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，化简再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由（2b-c）cosA=acosC，利用正弦定理可得：2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC，
化为2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，可得cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccos$\frac{π}{3}$，
化为1=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-$3×（\frac{b+c}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}（b+c）^{2}$，b+c＞1．当且仅当b=c时取等号．
解得1＜b+c≤2，
∴b+c的取值范围是（1，2]．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、和差公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．