Question

19．在△ABC中，b=$\sqrt{3}$，B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）如果a=2c，求c的值；
（Ⅱ）设f（A）表示△ABC的周长，求f（A）的最大值．

Answer 1

分析 （I）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，又a=2c，代入解出即可得出．
（II）在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=2，可得a=2sinA，c=2sinC，f（A）=a+b+c=2sinA+$\sqrt{3}$+2sinC=2sinA+$\sqrt{3}$+2sin$（\frac{2π}{3}-A）$=$2\sqrt{3}$$sin（A+\frac{π}{6}）$+$\sqrt{3}$，由于A∈$（0，\frac{2π}{3}）$，可得$sin（A+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{1}{2}，1]$．即可得出．

解答 解：（I）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
又a=2c，可得：3=5c²-4c²$cos\frac{π}{3}$，解得c=1．
（II）在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=2，
∴a=2sinA，c=2sinC，
∴f（A）=a+b+c=2sinA+$\sqrt{3}$+2sinC
=2sinA+$\sqrt{3}$+2sin$（\frac{2π}{3}-A）$=2sinA+$\sqrt{3}$+2$（\frac{\sqrt{3}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA）$
=3sinA+$\sqrt{3}$cosA+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA）$
$+\sqrt{3}$=$2\sqrt{3}$$sin（A+\frac{π}{6}）$+$\sqrt{3}$，
∵A∈$（0，\frac{2π}{3}）$，∴$（A+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，∴$sin（A+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{1}{2}，1]$．
∴f（A）的最大值是3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差化积、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．