Question

8．设点M（x₀，x₀+$\sqrt{2}$），若在圆O：x²+y²=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x₀的取值范围是（　　）

• A． [-$\sqrt{2}$，0]
• B． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
• C． [-2，2]
• D． [-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]

Answer 1

分析 根据直线和圆的位置关系，作出图象，数形结合可得．

解答 解：∵点M（x₀，x₀+$\sqrt{2}$）在直线y=x+$\sqrt{2}$上，
又直线y=x+$\sqrt{2}$与圆O：x²+y²=1相切，
∴要使圆O：x²+y²=1上存在点N，使得∠OMN=45°，

则∠OMN的最大值大于或等于45°时，一定存在点N，使得∠OMN=45°，
而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时有MN=1，
∴x₀的取值范围为[-$\sqrt{2}$，0]
故选：A．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是解决问题的关键，属中档题．