Question

16．在△ABC中，BC=1，ccosA+acosC=2bcosB，△ABC的面积S=$\sqrt{3}$，则AC等于（　　）

• A． $\sqrt{13}$
• B． 4
• C． 3
• D． $\sqrt{15}$

Answer 1

分析 利用正弦定理化边为角，可求导cosB，由此可得B，利用三角形面积公式可求AB，根据余弦定理即可求值得解．

解答 解：2bcosB=ccosA+acosC，
由正弦定理，得2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，
∴2sinBcosB=sinB，
又sinB≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$．
∵△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB=$\frac{1}{2}×$AB×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，解得：AB=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BC•cosB}$=$\sqrt{16+1-2×4×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{13}$．
故选：A．

点评 该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，考查三角形面积公式、基本不等式，考查学生运用知识解决问题的能力，属于中档题．