Question

14．如图，过△ABC的重心G的直线分别交边AB、AC于P、Q两点，且$\overrightarrow{AB}$=x$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{AC}$=y$\overrightarrow{AQ}$，则xy的取值范围是[2，$\frac{9}{4}$]．

Answer 1

分析 易知存在m，使$\overrightarrow{AG}$=m$\overrightarrow{AQ}$+（1-m）$\overrightarrow{AP}$，且$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$（y$\overrightarrow{AQ}$+x$\overrightarrow{AP}$），从而可得x+y=3，且1≤x≤2，从而化为二次函数求范围．

解答 解：∵P，G，Q三点共线，
∴存在m，使$\overrightarrow{AG}$=m$\overrightarrow{AQ}$+（1-m）$\overrightarrow{AP}$，
又∵G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$（y$\overrightarrow{AQ}$+x$\overrightarrow{AP}$），
∴$\frac{1}{3}$（y$\overrightarrow{AQ}$+x$\overrightarrow{AP}$）=m$\overrightarrow{AQ}$+（1-m）$\overrightarrow{AP}$，
∴x+y=3，
又∵$\overrightarrow{AB}$=x$\overrightarrow{AP}$，
∴1≤x≤2，
故xy=x（3-x）=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
故2≤-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$≤$\frac{9}{4}$，
故答案为：[2，$\frac{9}{4}$]．

点评 本题考查了平面向量的线性运算的应用及数形结合的思想应用，同时考查了二次函数的性质应用．