Question

6．已知m＞0，n＞0，在（1+mx）³+（1+$\sqrt{3}$nx）²的展开式中，当x²项系数为3时，则m+n的最大值为（　　）

• A． $\frac{5}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 （1+mx）³+（1+$\sqrt{3}$nx）²的展开式中，x²项系数为${∁}_{3}^{2}•{m}^{2}$+3n²，可得m²+n²=1，利用m+n$≤\sqrt{2（{m}^{2}+{n}^{2}）}$即可得出．

解答 解：（1+mx）³+（1+$\sqrt{3}$nx）²的展开式中，
x²项系数为${∁}_{3}^{2}•{m}^{2}$+3n²=3m²+3n²=3，
化为m²+n²=1，
∵m＞0，n＞0，
则m+n$≤\sqrt{2（{m}^{2}+{n}^{2}）}$=$\sqrt{2}$，
当且仅当m=n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
∴m+n的最大值为$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了二项式定理的应用、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．