Question

15．已知正三角形A₁A₂A₃，A₄、A₅、A₆分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤6，1≤j≤6，且i≠j时，数量积$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$的不同数量积的个数为9．

Answer 1

分析 以A₁A₂所在直线为x轴，中点A₄为坐标原点，建立直角坐标系，可设A₁（-1，0），A₂（1，0），A₃（0，$\sqrt{3}$），A₄（0，0），A₅（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），A₆（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），运用向量的坐标运算和数量积的坐标表示，计算即可得到所求个数．

解答 解：以A₁A₂所在直线为x轴，中点A₄为坐标原点，建立直角坐标系，
可设A₁（-1，0），A₂（1，0），A₃（0，$\sqrt{3}$），
A₄（0，0），A₅（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），A₆（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
可得$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$=（2，0），
若i=1，则$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$=2（${x}_{{A}_{j}}$+1），
可得4，2，2，1，3；
若i=2，则$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$=2（${x}_{{A}_{j}}$-1），
可得-4，-2，-2，-3，-1；
若i=3，则$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$=2（${x}_{{A}_{j}}$），
可得-2，2，0，-1，1；
若i=4，则$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$=2（${x}_{{A}_{j}}$），
可得-2，2，0，-1，1；
若i=5，则$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$=2（${x}_{{A}_{j}}$+$\frac{1}{2}$），
可得-1，3，1，1，2；
若i=6，则$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{j}}$=2（${x}_{{A}_{j}}$-$\frac{1}{2}$），
可得-3，1，-1，-1，-2．
综上可得取值有±1，±2，±3，±4，0共9个．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．