Question

18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，若tanα=3，则f（$α+\frac{π}{8}$）的值为（　　）

• A． -$\frac{3}{5}$
• B． -$\frac{4}{5}$
• C． -$\frac{3\sqrt{2}}{5}$
• D． -$\frac{4\sqrt{2}}{5}$

Answer 1

分析 由三角函数图象的对称性可得ω，逐步代点可得解析式，再由二倍角公式和弦化切的思想可得．

解答 解：由三角函数图象的对称性可得直线y=-1与图象C左边的交点横坐标为$\frac{3π}{8}$+（$\frac{3π}{8}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{π}{2}$，
∴函数图象y轴右侧的第一个最低点的横坐标为x=$\frac{1}{2}$（$\frac{π}{2}$+$\frac{3π}{4}$）=$\frac{5π}{8}$，
∴函数的周期T=$\frac{2π}{ω}$=4（$\frac{5π}{8}$-$\frac{3π}{8}$），解得ω=2，∴f（x）=Asin（2x+φ），
代入点（$\frac{3π}{8}$，0）可得0=Asin（$\frac{3π}{4}$+φ），∴$\frac{3π}{4}$+φ=kπ，k∈Z，
结合|φ|＜$\frac{π}{2}$可得，φ=$\frac{π}{4}$，故f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{4}$），
在由图象过点（$\frac{π}{4}$，1）可得Asin（2•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=1，解得A=$\sqrt{2}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），∴f（$α+\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$sin（2α+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$sin（2α+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}$cos2α=$\sqrt{2}$（cos²α-sin²α）
=$\sqrt{2}$•$\frac{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}$=$\sqrt{2}$•$\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$=$\sqrt{2}$•$\frac{1-{3}^{2}}{1+{3}^{2}}$=-$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
故选：D．

点评 本题考查三角函数的图象和解析式，涉及二倍角公式和弦化切的思想，属中档题．