Question

20．设$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是两个不共线的向量，已知向量$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+sinα$\overrightarrow{{e}_{2}}$（-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$），$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，若A、B、D三点共线，则函数f（x）=2cos（x+α）在[0，π）上的值域为（　　）

• A． [-1，$\frac{1}{2}$]
• B． [-2，$\sqrt{3}$]
• C． （-2，1]
• D． （-1，$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 根据A，B，D三点共线便可得出$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{BD}=k\overrightarrow{{e}_{1}}+\frac{k}{4}\overrightarrow{{e}_{2}}$，从而由平面向量基本定理即可得到$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{\frac{k}{4}=sinα}\end{array}\right.$，从而可求出sinα，根据α的范围即可得出$α=\frac{π}{6}$，这样即可得出$f（x）=2cos（x+\frac{π}{6}）$，可求得$x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}）$，结合余弦函数的图象便可求出f（x）的最大、最小值，从而得出f（x）在[0，π）上的值域．

解答 解：A，B，D三点共线；
∴$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{BD}$=$k（\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}）$=$k[（2\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}）-（\overrightarrow{{e}_{1}}-\frac{5}{4}\overrightarrow{{e}_{2}}）]$=$k\overrightarrow{{e}_{1}}+\frac{k}{4}\overrightarrow{{e}_{2}}$；
又$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{{e}_{1}}+sinα\overrightarrow{{e}_{2}}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{\frac{k}{4}=sinα}\end{array}\right.$；
∴$sinα=\frac{1}{2}$；
∵$-\frac{π}{2}＜α＜\frac{π}{2}$；
∴$α=\frac{π}{6}$；
∴$f（x）=2cos（x+\frac{π}{6}）$；
x∈[0，π），∴$x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}）$；
∴x=0时，f（x）取最大值$\sqrt{3}$，$x=\frac{5π}{6}$时，f（x）取最小值-2；
∴f（x）在[0，π）上的值域为$[-2，\sqrt{3}]$．
故选B．

点评 考查共线向量基本定理，以及向量减法的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，已知三角函数值求角，以及根据余弦函数的图象求余弦函数在一区间上值域的方法．